Задача 65615

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Параллелограмм и квадрат расположены так, что вершины квадрата лежат на сторонах параллелограмма (по одной вершине на каждой стороне). Из каждой вершины параллелограмма проведена прямая, перпендикулярная ближайшей стороне квадрата. Докажите, что точки попарного пересечения этих прямых также являются вершинами квадрата.

Решение

  Пусть вершины Е, F, G и Н квадрата ЕFGН лежат на сторонах АВ, ВС, CD и DA параллелограмма АВСD соответственно (см. рис). Перпендикуляры, проведённые из вершин А, В, C и D, обозначены через а, b, c и d соответственно.
  Пусть О – центр квадрата ЕFGН. Достаточно доказать, что повороте с центром О на 90° вершины получившегося четырёхугольника переходят друг в друга.

  Рассмотрим такой поворот, например, против часовой стрелки. Квадрат EFGH перейдёт в себя, а образом параллелограмма ABCD будет параллелограмм A'B'C'D'. При этом,  A'D' ⊥ АD  и  C'D' ⊥ AB  (так как  C'D' ⊥ CD  и  CD || AB).  Значит, точка D' – ортоцентр треугольника АЕН. Следовательно, эта точка лежит на прямой а. Это означает, что при рассматриваемом повороте образом прямой d служит прямая а.
  Аналогично доказывается, что образами прямых а, b и c являются прямые b, c и d соответственно. Следовательно, точки их попарного пересечения переходят друг в друга, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	10
задача
Номер	10.3.2