Докажите неравенство     при любых натуральных n и k.

   Решение

В треугольник АВС вписана окружность и отмечен её центр I и точки касания P, Q, R со сторонами ВС, СА, АВ соответственно. Одной линейкой постройте точку К, в которой окружность, проходящая через вершины В и С, касается (внутренним образом) вписанной окружности.

   Решение

AB — диаметр окружности, CD — хорда этой окружности. Перпендикуляры к хорде, проведённые через её концы C и D, пересекают прямую AB в точках K и M соответственно. Докажите, что AK = BM.

   Решение

Что больше 200! или 100²⁰⁰?

   Решение

В угол с вершиной $C$ вписана окружность $\omega$. Рассматриваются окружности, проходящие через $C$, касающиеся $\omega$ внешним образом и пересекающие стороны угла в точках $A$ и $B$. Докажите, что периметры всех треугольников $ABC$ равны.

   Решение

На данной прямой l, проходящей через центр O данной окружности, фиксирована точка C (расположенная внутри окружности — прим. ред.). Точки A и A' расположены на окружности по одну сторону от l так, что углы, образованные прямыми AC и A'C с прямой l, равны. Обозначим через B точку пересечения прямых AA' и l. Доказать, что положение точки B не зависит от точки A.

   Решение

Числа а, b и с лежат в интервале  (0, 1).  Докажите, что  a + b + c + 2abc > ab + bc + ca + 2.

   Решение

Темы:    [ Неравенство Коши ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Числа а, b и с лежат в интервале  (0, 1).  Докажите, что  a + b + c + 2abc > ab + bc + ca + 2.

Решение

  Поскольку    (неравенство Коши), то достаточно доказать, что
a + b + c + 2abc > ab + bc + ca + a + bc  ⇔  b + c + 2abc > ab + 2bc + ca  ⇔  (1 – a)(b + c – 2bc) > 0  ⇔  (1 – a)(b(1 – c) + c(1 – b)) > 0.
  Но последнее неравенство сразу следует из условия задачи.

Источники и прецеденты использования