|
|
 |
Условие
В угол с вершиной $C$ вписана окружность $\omega$. Рассматриваются окружности, проходящие через $C$, касающиеся $\omega$ внешним образом и пересекающие стороны угла в точках $A$ и $B$. Докажите, что периметры всех треугольников $ABC$ равны.
Решение
Будем считать, что длина касательной из $C$ к данной окружности равна $1$. При инверсии относительно единичной окружности с центром $C$ стороны угла и окружность остаются на месте, а точки $A$, $B$ переходят в такие точки $A'$, $B'$, что треугольник $A'B'C$ описан около данной окружности. При этом $AC=1/A'C$, $BC=1/B'C$, $AB=A'B'/(A'C\cdot B'C)$. Поэтому периметр треугольника $ABC$ равен $$ \frac{A'B'+A'C+B'C}{A'C\cdot B'C} = \frac{2p_{A'B'C}\sin\angle C}{2S_{A'B'C}} = \frac{\sin\angle C}{r_{A'B'C}}. $$ Но радиус вписанной окружности треугольника $A'B'C$ не зависит от точек $A$, $B$.
