Задача 65641

Темы:    [ Шестиугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Блинков А.Д.

В шестиугольнике равны углы, три главные диагонали равны между собой и шесть остальных диагоналей также равны между собой.
Верно ли, что у него равны стороны?

Решение

  Рассмотрим шестиугольник ABCDEF с равными углами, у которого стороны равны через одну, а соседние – не равны. Построить его можно, отрезав от равностороннего треугольника, три меньших равных равносторонних треугольника (рис. слева). В нём противолежащие стороны параллельны.

           

  Малые диагонали равны из равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, например, равны треугольники ABC и FED (рис. справа). Равенство главных диагоналей, например, AD и CF, следует из того, что четырёхугольник ACDF – равнобокая трапеция.

Ответ

Неверно.

Замечания

Можно воспользоваться и тем, что исходный треугольник переходит в себя при повороте на 120° вокруг его центра, а также при симметрии относительно любой высоты.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата	2016-04-17
класс
Класс	8-9
задача
Номер	1