ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65641
Темы:    [ Шестиугольники ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В шестиугольнике равны углы, три главные диагонали равны между собой и шесть остальных диагоналей также равны между собой.
Верно ли, что у него равны стороны?


Решение

  Рассмотрим шестиугольник ABCDEF с равными углами, у которого стороны равны через одну, а соседние – не равны. Построить его можно, отрезав от равностороннего треугольника, три меньших равных равносторонних треугольника (рис. слева). В нём противолежащие стороны параллельны.

           
  Малые диагонали равны из равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, например, равны треугольники ABC и FED (рис. справа). Равенство главных диагоналей, например, AD и CF, следует из того, что четырёхугольник ACDF – равнобокая трапеция.


Ответ

Неверно.

Замечания

Можно воспользоваться и тем, что исходный треугольник переходит в себя при повороте на 120° вокруг его центра, а также при симметрии относительно любой высоты.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата 2016-04-17
класс
Класс 8-9
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .