ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65649
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Два квадрата расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что площади заштрихованных четырёхугольников равны.


Решение

  Обозначим точки пересечения сторон квадратов и продлим их стороны (см. рис.).

  Рассмотрим параллелограммы ABCD и A1B1C1D1. Соответствующие стороны этих параллелограммов перпендикулярны, значит, углы параллелограммов равны. Кроме того, соответствующие высоты параллелограммов равны сторонам данных квадратов, то есть также соответственно равны.
  Следовательно, параллелограммы равны и совмещаются композицией поворота на 90° и параллельного переноса, а соответствующие диагонали BD и B1D1 параллелограммов равны и перпендикулярны.
  Аналогично доказывается равенство и перпендикулярность отрезков MP и LK.
  Значит, диагонали четырёхугольников KDLB и B1MD1P соответственно равны и пересекаются под одним и тем же углом, откуда (поскольку площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними) и следует утверждение задачи.

Замечания

Заметим, что заштрихованные четырёхугольники – трапеции. Поскольку их высоты одинаковы, то  BL + DK = B1M + D1P.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата 2016-04-17
класс
Класс 10-11
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .