ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65667
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На медиане AM треугольника ABC нашлась такая точка K, что  AK = BM.  Кроме того,  ∠AMC = 60°.  Докажите, что  AC = BK.


Решение 1

На продолжении медианы AM за точку M отметим такую точку X, что  MX = BM  (рис. слева). Заметим, что треугольник BMX – равносторонний. Треугольники BXK и CMA равны по двум сторонам и углу между ними.

                       


Решение 2

Отразим вершину B относительно прямой AM; получим точку Y (рис. в центре). Заметим, что  BM = MY  и   ∠BMY = 120°,  откуда видно, что треугольник CMY – равносторонний. Отрезки AK и CY параллельны и равны; следовательно, AKYC – параллелограмм. Значит,  AC = YK,  а отрезки YK и BK равны из симметрии относительно AM.


Решение 3

Отметим такую точку Z, что MCAZ – параллелограмм. Несложно видеть, что AKZ – равносторонний треугольник. Значит, ZKMB   равнобедренная трапеция:  BM = KZ,  ∠BMK = ∠MKZ = 120°.  Отрезки AC и MZ равны как стороны параллелограмма, отрезки MZ и BK – как диагонали равнобедренной трапеции.

Замечания

1. Возможны и другие решения.

2. Ср. с задачей 65672.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2016
Номер 79
класс
Класс 8
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .