|
|
 |
Условие
Найдите наименьшее натуральное число, кратное 99, в десятичной записи которого участвуют только чётные цифры.
Решение 1
Пусть akak–1...a1 – десятичная запись этого числа (обозначим его
n). Тогда n = a2a1 + 100a4a3 + 10000a6a5 + ... ≡ a2a1 + a4a3 + a6a5 + ... (mod 99).
Поскольку n кратно 99 и все его цифры чётные, число s = a2a1 + a4a3 + a6a5 + ... кратно 198, а значит, s ≥ 198. Но если в числе n не больше пяти цифр, то s ≤ 8 + 88 + 88 = 184. Значит, цифр хотя бы 6.
Если a6a5 < 22, то s < 22 + 88 + 88 = 198, поэтому первые две цифры образуют число, не меньшее 22. Тогда наше число не меньше чем 228888, а оно подходит.
Решение 2
Обозначим через Sч и Sн сумму цифр, стоящих на чётных и нечётных местах соответственно. Из признаков делимости на 9 и на 11 следует, что
Sч + Sн кратно 9, а |Sч – Sн| кратно 11. Но все цифры чётные, поэтому Sч + Sн делится на 18, а
|Sч – Sн| – на 22. Также заметим, что |Sч – Sн| ≤ Sч + Sн.
Если Sч + Sн = 18, то |Sч – Sн| = 0. Но из этого следует, что Sч = Sн = 9, чего не может быть в силу чётности Sч и Sн.
Если Sч + Sн ≥ 54, то в нашем числе будет не менее 7 цифр, поскольку 8·6 = 48 < 54.
Пусть Sч + Sн = 36. Тогда |Sч – Sн| = 22 или |Sч – Sн| = 0. В первом случае одно из чисел Sч и Sн равно 29, а другое – 7, чего не может быть. Во втором случае Sч = Sн = 18. Заметим, что 18 нельзя представить в виде суммы менее чем трёх чётных цифр, поэтому наше число хотя бы шестизначное.
Осталось заметить, что наименьшее шестизначное число, удовлетворяющее условиям задачи, – это 228888. Действительно, первая цифра не может
быть меньше 2, вторая – тоже, поскольку если она равна 0, то общая сумма цифр не больше 2 + 8·4 < 36.
Ответ
228888.
