ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 65674
УсловиеТочка O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Прямая, перпендикулярная стороне AC, пересекает сторону BC и прямую AB в точках Q и P соответственно. Докажите, что точки B, O и середины отрезков AP и CQ лежат на одной окружности. РешениеПусть M, N, R, S – середины отрезков AB, BC, AP и CQ соответственно. Заметим, что ∠OMB = ∠ONB = 90°, ∠OMN = 90° – ∠NMB = 90° – ∠A = ∠BPQ. Аналогично ∠ONM = ∠BQP. Следовательно, треугольники OMN и BPQ подобны. Значит, OM : BP = ON : BQ. ИмеемMR = AR – AM = ½ AP – ½ AB = ½ BP. Аналогично NS = ½ BQ. Таким образом, OM : MR = ON : NS, и треугольники OMR и ONS подобны. Поэтому ∠ORM = ∠OSN, значит, ∠ORB + ∠OSB = 180°, и четырёхугольник ORBS – вписанный. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|