ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65674
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Прямая, перпендикулярная стороне AC, пересекает сторону BC и прямую AB в точках Q и P соответственно. Докажите, что точки B, O и середины отрезков AP и CQ лежат на одной окружности.


Решение

  Пусть M, N, R, S – середины отрезков AB, BC, AP и CQ соответственно. Заметим, что  ∠OMB = ∠ONB = 90°,  ∠OMN = 90° – ∠NMB = 90° – ∠A = ∠BPQ.

  Аналогично  ∠ONM = ∠BQP.  Следовательно, треугольники OMN и BPQ подобны. Значит,  OM : BP = ON : BQ.  Имеем
MR = AR – AM = ½ AP – ½ AB = ½ BP.
  Аналогично  NS = ½ BQ.  Таким образом,  OM : MR = ON : NS,  и треугольники OMR и ONS подобны. Поэтому  ∠ORM = ∠OSN,  значит,
ORB + ∠OSB = 180°,  и четырёхугольник ORBS – вписанный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2016
Номер 79
класс
Класс 9
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .