ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65678
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри выпуклого четырехугольника A1A2B2B1 нашлась такая точка C, что треугольники CA1A2 и CB2B1 – правильные. Точки C1 и C2 симметричны точке C относительно прямых A2B2 и A1B1 соответственно. Докажите, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны.


Решение

  Из условия следует, что  B1C1 = B2C = B2B1,  то есть B2 – центр описанной окружности треугольника B1CC1. Поэтому  ∠C1B1C = ½ ∠C1B2C = ∠A2B2C  (это равенство означает, что каждый из углов C1B1C и A2B2C равен половине дуги C1C, не содержащей точки B1, причём это равенство справедливо, даже если эта дуга больше полуокружности), а  ∠A1B1C1 = ∠A1B1C + ∠ A2B2C.

  Точка B1 – центр описанной окружности треугольника B2CC2. Поэтому  ∠C2B2C = ½ ∠C2B1C = ∠A1B1C,  а  ∠A2B2C2 = ∠A1B1C + A2B2C.  Значит,
A1B1C1 = ∠A2B2C2.  Точно так же доказывается равенство других углов треугольников B1A1C1 и B2A2C2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2016
Номер 79
класс
Класс 10
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .