Задача 65678

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Внутри выпуклого четырехугольника A₁A₂B₂B₁ нашлась такая точка C, что треугольники CA₁A₂ и CB₂B₁ – правильные. Точки C₁ и C₂ симметричны точке C относительно прямых A₂B₂ и A₁B₁ соответственно. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

Решение

  Из условия следует, что  B₁C₁ = B₂C = B₂B₁,  то есть B₂ – центр описанной окружности треугольника B₁CC₁. Поэтому  ∠C₁B₁C = ½ ∠C₁B₂C = ∠A₂B₂C  (это равенство означает, что каждый из углов C₁B₁C и A₂B₂C равен половине дуги C₁C, не содержащей точки B₁, причём это равенство справедливо, даже если эта дуга больше полуокружности), а  ∠A₁B₁C₁ = ∠A₁B₁C + ∠ A₂B₂C.

  Точка B₁ – центр описанной окружности треугольника B₂CC₂. Поэтому  ∠C₂B₂C = ½ ∠C₂B₁C = ∠A₁B₁C,  а  ∠A₂B₂C₂ = ∠A₁B₁C + A₂B₂C.  Значит,
∠A₁B₁C₁ = ∠A₂B₂C₂.  Точно так же доказывается равенство других углов треугольников B₁A₁C₁ и B₂A₂C₂.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2016
Номер	79
класс
Класс	10
задача
Номер	2