|
|
 |
Условие
В куб с ребром 1 поместили 8 непересекающихся шаров (возможно, разного размера). Может ли сумма диаметров этих шаров быть больше 4?
Решение
Разделим куб ABCDA'B'C'D' на 8 кубов с ребром ½ и впишем в кубы, прилегающие к вершинам A, C, B', D' чёрные шары, а в остальные – белые. Очевидно, что каждый чёрный шар касается трёх белых и наоборот, а шары одного цвета не имеют общих точек. Теперь заменим чёрные шары шарами с диаметром ½ + ε, а белые – шарами с диаметром ½ – ε, где ε > 0 и меньше половины минимального расстояния между чёрными шарами, так что все шары по-прежнему касаются трёхгранных углов куба. Тогда чёрные шары по-прежнему не будут иметь общих точек. Докажем, что теперь и шары разного цвета не имеют общих точек. Действительно, пусть O1, O2 – центры шаров, вписанных в трёхгранные углы при вершинах A и B, а r1, r2 – радиусы этих шаров. Тогда проекция отрезка O1O2 на AB равна 1 – r1 – r2 = ½. Поскольку r1 ≠ r2, то прямая O1O2 не параллельна AB, следовательно, O1O2 > ½ = r1 + r2. Таким образом, никакие два из наших восьми шаров не имеют общих точек, и можно немного увеличить их радиусы.
Ответ
Может.
