ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65681
Темы:    [ Куб ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Сфера, вписанная в трехгранный угол ]
[ Проектирование помогает решить задачу ]
[ Малые шевеления ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В куб с ребром 1 поместили 8 непересекающихся шаров (возможно, разного размера). Может ли сумма диаметров этих шаров быть больше 4?


Решение

Разделим куб ABCDA'B'C'D' на 8 кубов с ребром ½ и впишем в кубы, прилегающие к вершинам A, C, B', D' чёрные шары, а в остальные – белые. Очевидно, что каждый чёрный шар касается трёх белых и наоборот, а шары одного цвета не имеют общих точек. Теперь заменим чёрные шары шарами с диаметром  ½ + ε,  а белые – шарами с диаметром  ½ – ε,  где  ε > 0  и меньше половины минимального расстояния между чёрными шарами, так что все шары по-прежнему касаются трёхгранных углов куба. Тогда чёрные шары по-прежнему не будут иметь общих точек. Докажем, что теперь и шары разного цвета не имеют общих точек. Действительно, пусть O1, O2 – центры шаров, вписанных в трёхгранные углы при вершинах A и B, а r1, r2 – радиусы этих шаров. Тогда проекция отрезка O1O2 на AB равна  1 – r1r2 = ½.  Поскольку  r1r2,  то прямая O1O2 не параллельна AB, следовательно,  O1O2 > ½ = r1 + r2.  Таким образом, никакие два из наших восьми шаров не имеют общих точек, и можно немного увеличить их радиусы.


Ответ

Может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2016
Номер 79
класс
Класс 10
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .