Задача 65706

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Кузнецов А.

В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. На отрезке CL выбрана точка M. Касательная в точке B к описанной окружности Ω треугольника ABC пересекает луч CA в точке P. Касательные в точках B и M к описанной окружности Γ треугольника BLM, пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые PQ и BL параллельны.

Решение

  Так как BL – биссектриса угла ABC, то  ∠ABL = ∠LBC.  Поскольку PB – касательная к Ω, то  ∠PBA = ∠BCA.  Кроме того,
∠PBL = ∠PBA + ∠ABL = ∠BCA + ∠LBC = ∠BLP,  значит,  ∠BPM = 180° – (∠PBL + ∠BLP) = 180° – 2∠BLP.  Отсюда следует, в частности, что угол BLP – острый.

  Так как  ∠BLM = 180° – BLP > 90°,  касательные к Γ в точках B и M пересекаются в точке Q, лежащей по ту же сторону от BM, что и точка L (а значит – по ту же сторону, что и P). Далее имеем  ∠QBM = ∠QMB = 180° – ∠BLM = ∠BLP.  Значит,  ∠BQM = 180° – 2∠QBM = 180° – 2∠BLP = ∠BPM.  Поэтому точки B, M, P и Q лежат на одной окружности. Отсюда следует, что  ∠QPM = ∠QBM = ∠BLP.  Это и означает, что  PQ || BL.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2015/2016
этап
Вариант	4
класс
Класс	11
задача
Номер	11.3