|
|
 |
Условие
Натуральное число N представляется в виде N = a1 – a2 = b1 – b2 = c1 – c2 = d1 – d2, где a1 и a2 – квадраты, b1 и b2 – кубы, c1 и c2 – пятые степени, а d1 и d2 – седьмые степени натуральных чисел. Обязательно ли среди чисел a1, b1, c1 и d1 найдутся два равных?
Решение
Приведём пример числа N, для которого все указанные числа
будут различными. Положим N = (3² – 2²)105(3³ – 2³)70(35 – 25)126(37 – 27)120. Тогда
N = A²(3² – 2²) = B³(3³ – 2³) = C5(35 – 25) = D7(37 – 27) при некоторых натуральных A, B, C и D, не делящихся ни на 2, ни на 3. Отсюда
N = (3A)² – (2A)² = (3B)³ – (2B)³ = (3C)5 – (2C)5 = (3D)7 – (2D)7. Даже все восемь чисел, участвующих в представлениях, различны, поскольку у каждых двух из них разная степень вхождения либо двойки, либо тройки.
Ответ
Не обязательно.
