|
|
 |
Условие
У менялы на базаре есть много ковров. Он согласен взамен ковра размера a×b дать либо ковёр размера 1/a×1/b, либо два ковра размеров c×b и a/c×b (при каждом таком обмене число c клиент может выбрать сам). Путешественник рассказал, что изначально у него был один ковёр, стороны которого превосходили 1, а после нескольких таких обменов у него оказался набор ковров, у каждого из которых одна сторона длиннее 1, а другая – короче 1. Не обманывает ли он? (По просьбе клиента меняла готов ковёр размера a×b считать ковром размера b×a.)
Решение
Назовём ковёр, все стороны которого больше 1, большим, а ковёр, все стороны которого меньше 1, – маленьким. Таким образом, изначально у путешественника был один большой ковёр. Докажем, что общее число больших и маленьких ковров у путешественника не уменьшается; отсюда следует, что описанная ситуация невозможна. Для этого достаточно рассмотреть только случай, когда путешественник отдаёт меняле большой или маленький ковёр.
При обменах первого вида большой ковёр меняют на маленький, а маленький – на большой. Поэтому общее количество больших и маленьких ковров не уменьшается.
Рассмотрим обмены второго вида. При обмене большого ковра a×b путешественник получит ковры a1×b и a2×b, причём a1a2 = a. Поскольку
a > 1 и b > 1, то хотя бы один из новых ковров будет большим. Аналогично при обмене маленького ковра хотя бы один из новых ковров будет маленьким. Значит, при таком обмене общее количество больших и маленьких ковров также не уменьшается.
Ответ
Обманывает.
