Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены девять (не обязательно различных) девятизначных чисел; каждая из цифр использована в каждом числе ровно один раз. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих девяти чисел?

   Решение

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Доказательство от противного ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены девять (не обязательно различных) девятизначных чисел; каждая из цифр использована в каждом числе ровно один раз. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих девяти чисел?

Решение

  Оценка. Пусть сумма оканчивается на девять нулей. Каждое из составленных чисел делится на 9, поскольку сумма его цифр делится на 9. Поэтому их сумма также делится на 9. Наименьшее натуральное число, делящееся на 9 и оканчивающееся на девять нулей, равно 9·10⁹, так что сумма наших чисел не меньше 9·10⁹. Значит, одно из них не меньше 10⁹. Противоречие.
  Пример с восемью нулями:  8·987654321 + 198765432 = 81·10⁸.

Ответ

На 8 нулей.

Источники и прецеденты использования