|
|
 |
Условие
Сумма положительных чисел a, b, c и d равна 3. Докажите неравенство 1/a² + 1/b² + 1/c² + 1/d² ≤ 1/a²b²c²d².
Решение
Домножив доказываемое неравенство на a²b²c²d², получим a²b²c² + a²b²d² + a²c²d² + b²c²d² ≤ 1.
Поскольку неравенство симметричное, можно считать, что a ≥ b ≥ c ≥ d. По неравенству Коши ab(с + d) ≤ (a+b+c+d/3)³ = 1.
Следовательно, a²b²(с + d)² ≤ 1.
Значит, достаточно проверить, что a²b²c² + a²b²d² + a²c²d² + b²c²d² ≤ a²b²(с + d)².
После раскрытия скобок, приведения подобных и сокращения остаётся неравенство a²cd + b²cd ≤ 2a²b², которое является суммой двух очевидных неравенств a²cd ≤ a²b² и b²cd ≤ a²b².
Замечания
1. Если допустить неотрицательные значения переменных, то неравенство обращается в равенство лишь тогда, когда три числа равны 1 и одно равно 0.
2. Ср. с задачей 65763.
