Задача 65776

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Средние величины ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

На конференцию приехали 18 учёных, из которых ровно 10 знают сногсшибательную новость. Во время перерыва (кофе-брейка) все учёные разбиваются на случайные пары, и в каждой паре каждый, кто знает новость, рассказывает эту новость другому, если тот её ещё не знал.
  а) Найдите вероятность того, что после кофе-брейка число учёных, знающих новость, будет равно 13.
  б) Найдите вероятность того, что после кофе-брейка число учёных, знающих новость, будет равно 14.
  в) Обозначим буквой X количество учёных, которые знают сногсшибательную новость после кофе-брейка. Найдите математическое ожидание X.

Решение

  а) После кофе-брейка новость будут знать все, кто попал в пару, где есть хотя бы один знайка (тот, кто знал новость раньше). Поскольку эти ученые образуют целое число пар, их число чётно. Поэтому вероятность того, что их будет 13 человек, равна нулю.

  б) Задача напоминает задачу 65771, поскольку дело сводится к исчислению пар, состоящих из знайки и незнайки. Для простоты будем считать, что учёные расселись за двухместными столиками. Стулья, на которых сидят знайки, закрасим серым цветом. Стулья незнаек оставим белыми.
  Всего существует    способов рассадить 10 знаек и 8 незнаек на 18 стульев, стоящих около двухместных столиков. Нас интересуют такие рассадки, при которых ровно четыре знайки оказались за одним столиком с незнайками, чтобы передать им свое знание и довести число знающих до 14 (см. рис.)

  Выберем из девяти столиков четыре для пар знайка-незнайка (на рисунке эти столики покрыты серыми скатертями). Из оставшихся пяти столиков выберем два столика для незнаек (белые скатерти). Заметим, что пары "знайка-незнайка" можно посадить 2⁴ способами, заставляя знайку и незнайку за каждым столиком меняться местами. На рисунке показана одна из таких возможных рассадок, а общее число нужных рассадок равно .
  Таким образом, вероятность того, что число знающих новость станет ровно 14, равна