Задача 65777

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Условная вероятность ] [ Линейные рекуррентные соотношения ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Высокий прямоугольник ширины 2 открыт сверху, и в него падают в случайной ориентации Г-тримино (см. рисунок).
  а) Упало k тримино. Найдите математическое ожидание высоты получившегося многоугольника.
  б) Упало 7 тримино. Найдите вероятность того, что сложенная из тримино фигура будет иметь высоту 12.

Решение

  а) Случайную величину "высота получившегося многоугольника" обозначим X. Очевидно,  X = 2k – (I₂ + I₃ + ... + I_k),  где I_j – индикатор события "тримино с номерами j и  j – 1  образовали блок высоты 3". Это может быть только в двух случаях, показанных на рисунке. Вероятность такого равна ⅛. Таким образом,  EI_j = ⅛.  Поэтому  EX = 2k – ⅛ (k – 1) = ^15k+1/₈.

  б) Обозначим u_k,n и d_k,n вероятности того, что фигура из k упавших тримино достигнет высоты n, и при этом верхнее тримино будет расположено выступом вверх (вниз). Сумму этих вероятностей, то есть вероятность того, что высота многоугольника из k тримино равна n, обозначим p_k,n. Тогда
u_k,n = ½ p_k–1,n–2,  d_k,n = ¼ u_k–1,n–1 + ¼ u_k–1,n–2 + ½ d_k–1,n–2.
  Полная вероятность   p_k,n = u_k,n + d_k,n = ½ p_k–1,n–2 + ½ d_k–1,n–2 + ¼ u_k–1,n–2 + ¼ u_k–1,n–1 = p_k–1,n–2 – ¼ u_k–1,n–2 + ¼ u_k–1,n–1,  откуда
p_k,n = p_k–1,n–2 + ⅛ p_k–2,n–3 – ⅛ p_k–2,n–4.
  Для начала рекурсии положим  p_0,0 = p_1,2 = 1,  кроме того  p_k,n = 0  при  n > 2k.  Получаем:  p_2,3 = p_1,1 + ⅛ p_0,0 – ⅛ p_0,–1 = 0 + ⅛ – 0,
p_2,4 = p_1,2 + ⅛ p_0,1 – ⅛ p_0,0 = 1 + 0 – ⅛ = ⅞  и так далее. Расчёт можно провести, например, с помощью Excel (см. рис.). Для удобства можно ввести
n = –1,  положив соответствующие вероятности равными нулю. На рисунке этому соответствует пустой столбец С. Тогда останется заполнить соответствующей формулой только ячейки, начиная с  k = 2,  n = 3  (G5 в нашем примере).

  На пересечении 7-й строки и 12-го столбца находим  p_7,12 ≈ 0,133.

Ответ

а) ^15k+1/₈;   б) ≈ 0,133.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2016
тур
задача
Номер	13