ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65778
Темы:    [ Непрерывное распределение ]
[ Условная вероятность ]
[ Объем призмы ]
[ Объем тетраэдра и пирамиды ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Расследуя одно дело, следователь Башковицкий обнаружил, что ключевой свидетель – тот из семьи Петровых, кто в тот роковой день пришёл домой прежде прочих. Расследование выявило следующие факты.
  1. Соседка Марья Кузьминична хотела одолжить у Петровых соли, звонила им в дверь, но никто не открыл. Во сколько? Да кто ж знает? Темно уж было...
  2. Галина Ефимовна Петрова, придя вечером домой, обнаружила обоих детей на кухне, а мужа на диване – у него болела голова.
  3. Муж Анатолий Иванович заявил, что как пришёл, сразу лёг на диван и задремал, никого не видел, ничего не слышал, соседка точно не приходила – звонок бы его разбудил.
  4. Дочь Светлана сказала, что, вернувшись домой, сразу ушла к себе в комнату, про отца ничего не знает, но в прихожей, как всегда, споткнулась о Димкин ботинок.
  5. Дмитрий когда пришёл – не помнит, отца не видел, а как Светка ругалась из-за ботинка – слышал.
  "Ага, – задумался Башковицкий. – Какова же вероятность того, что Дмитрий вернулся домой раньше отца?"


Решение

  Относительно Дмитрия, Светланы и Анатолия определённости нет, известно лишь, что все трое пришли домой между визитом Марьи Кузьминичны и приходом Галины Ефимовны – именно эти два события ограничивают период времени, интересующий Башковицкого. Будем считать, что вероятность прихода члена семьи домой в какой-то промежуток времени пропорциональна длине этого промежутка.
  Введём обозначения. Пусть от визита Марьи Кузьминичны до прихода Галины Ефимовны прошло время m, до прихода Анатолия – время x, до прихода Дмитрия – время y, а до прихода Светланы – z.
  Из свидетельских показаний следует, что  0 < x < m,  0 < y < z < m.  В системе координат Oxyz получаем треугольную призму F с вершинами  (0, 0, 0),  (0, 0, m),  (0, m, m),  (m, 0, 0),  (m, 0, m)  и  (m, m, m)  (см. рисунок). При этих условиях требуется найти вероятность события  y < x.  Внутри призмы F это неравенство определяет четырёхугольную пирамиду G с вершинами  (0, 0, 0),  (m, 0, 0),  (m, 0, m),  (0, 0, m)  и  (m, m, m).

  Искомая вероятность равна  


Ответ

⅔.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2016
тур
задача
Номер 14

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .