ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65792
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Тригуб А.

В четырёхугольнике ABCD  ∠B = ∠D = 90°  и  AC = BC + DC.  Точка P на луче BD такова, что  BP = AD.
Докажите, что прямая CP параллельна биссектрисе угла ABD.


Решение

Из условия следует, что точки B и D лежат на окружности с диаметром AC. Пусть K – такая точка отрезка AC, что  AK = BC  (см. рис.). Тогда  CK = CD,  то есть  ∠CKD = ∠CDK.  Кроме того, треугольники BCP и AKD равны, поскольку  AK = BC,  AC = BP  и  ∠KAD = ∠CAD = ∠CBD = ∠CBP.  Следовательно,  ∠BCP = ∠AKP = 180° – ∠CKD = 90° + ½ ∠ACD = 90° + ½ ∠ABD,  откуда  ∠BCP + ½ ∠ABD + ∠CBP = 90° + ∠ABD + ∠CBP = 180°,  что равносильно утверждению задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2016
тур
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .