Задача 65796

Темы:    [ Пятиугольники ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность, причём  ∠B + ∠E = ∠C + ∠D.  Докажите, что  ∠CAD < ^π/₃ < ∠A.

Решение

Из условия следует, что  ⌣AEDC + ⌣ABCD = ⌣BAED + ⌣CBAE,  то есть  ⌣BAE = 2⌣CD.  Поскольку сумма этих двух дуг меньше 2π, то  ⌣CD < ^2π/₃  и  ⌣CAD < ^π/₃.  С другой стороны, так как  ⌣BAE < ^4π/₃,  то  ⌣BCDE > ^2π/₃  и  ∠A > ^π/₃.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
тур
задача
Номер	8