ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65796
Темы:    [ Пятиугольники ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность, причём  ∠B + ∠E = ∠C + ∠D.  Докажите, что  ∠CAD < π/3 < ∠A.


Решение

Из условия следует, что  ⌣AEDC + ⌣ABCD = ⌣BAED + ⌣CBAE,  то есть  ⌣BAE = 2⌣CD.  Поскольку сумма этих двух дуг меньше 2π, то  ⌣CD < /3  и  ⌣CAD < π/3.  С другой стороны, так как  ⌣BAE < /3,  то  ⌣BCDE > /3  и  ∠A > π/3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2016
тур
задача
Номер 8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .