Задача 65813

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Средняя линия треугольника ] [ Подобные треугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Гальперин Г.А.

Дан треугольник ABC. Точки M₁, M₂, M₃ – середины сторон AB, BC и AC, a точки H₁, H₂, H₃ – основания высот, лежащие на тех же сторонах.
Докажите, что из отрезков H₁M₂, H₂M₃ и H₃M₁ можно построить треугольник.

Решение

Указанные отрезки равны половинам сторон треугольника ABC (например, медиана H₁M₂ прямоугольного треугольника BH₁C равна половине гипотенузы BC). Поэтому из них можно построить вдвое меньший треугольник, равный треугольнику M₁M₂M₃.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	27
Дата	2005/2006
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	1