ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65825
Темы:    [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На каждой клетке шахматной доски вначале стоит по ладье. Каждым ходом можно снять с доски ладью, которая бьет нечётное число ладей. Какое наибольшее число ладей можно снять? (Ладьи бьют друг друга, если они стоят на одной вертикали или горизонтали и между ними нет других ладей.)


Решение

  Ни одну из ладей, стоящих в угловых клетках, снять нельзя. Действительно, в момент, когда снимают первую из них, её бьют ровно две ладьи. Пусть удалось оставить только четыре угловые ладьи. Тогда последнюю снятую ладью били либо две ладьи (если она стояла на границе доски), либо ни одной. Противоречие. Значит, хотя бы пять ладей останутся.
  Покажем, как снять 59 ладей. Сначала снимем с 8-й горизонтали все ладьи, кроме трёх – a8, b8 и h8, затем повторим то же самое с 7-й, 6-й, …, 3-й и 1-й горизонталью (пропустив 2-ю). Теперь снимем с 1-й вертикали ладьи с a3 по a7, а с последней – с h3 по h7. Далее снимем ладьи b1 и a2. Осталось последовательно снять ладьи с b8 по b3 и с g2 по c2.


Ответ

59 ладей.

Замечания

баллы: 8-9 кл. – 6, 10-11 кл. – 5

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 27
Дата 2005/2006
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер 3
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 27
Дата 2005/2006
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .