|
|
 |
Условие
У Пети есть n³ белых кубиков 1×1×1. Он хочет сложить из них куб n×n×n, снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен закрасить Вася, чтобы помешать Пете? Решите задачу при a) n = 3; б) n = 1000.
Решение
a) См. задачу 65841 б).
б) Достаточно окрасить по две противоположных грани во всех кубиках, кроме семи. Тогда в одном из углов большого куба обязательно будет окрашенная грань.
Пусть закрашено меньше чем 2·(109 – 7) граней. Тогда есть восемь кубиков с не более чем одной окрашенной гранью – их поместим в вершины большого куба. Менее ⅔·109 < 998³ кубиков могут иметь три и более окрашенных граней – поместим их всех внутрь большого куба. У каждого оставшегося кубика окрашено не более двух граней, а их всегда можно спрятать на любом из оставшихся мест.
Ответ
a) 12 граней; б) 2·(109 – 7) граней.
Замечания
баллы: 3 + 3
