ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65845
Темы:    [ Наглядная геометрия ]
[ Раскраски ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У Пети есть n³ белых кубиков 1×1×1. Он хочет сложить из них куб n×n×n, снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен закрасить Вася, чтобы помешать Пете? Решите задачу при   a)  n = 3;   б)  n = 1000.


Решение

  a) См. задачу 65841 б).

  б) Достаточно окрасить по две противоположных грани во всех кубиках, кроме семи. Тогда в одном из углов большого куба обязательно будет окрашенная грань.
  Пусть закрашено меньше чем  2·(109 – 7)  граней. Тогда есть восемь кубиков с не более чем одной окрашенной гранью – их поместим в вершины большого куба. Менее  ⅔·109 < 998³  кубиков могут иметь три и более окрашенных граней – поместим их всех внутрь большого куба. У каждого оставшегося кубика окрашено не более двух граней, а их всегда можно спрятать на любом из оставшихся мест.


Ответ

a) 12 граней;   б)  2·(109 – 7)  граней.

Замечания

баллы: 3 + 3

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 27
Дата 2005/2006
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .