ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65854
Тема:    [ Свойства коэффициентов многочлена ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что любая натуральная степень многочлена  P(x) = x4 + x³ – 3x² + x + 2  имеет хотя бы один отрицательный коэффициент.


Решение

Пусть  Q = Pn.  Поскольку  P(0) = P(1) = 2,  то  Q(0) = Q(1) = 2n.  Но  Q(1) – Q(0)  – это сумма всех коэффициентов многочлена Q, кроме свободного члена. Она равна 0, поэтому какой-то коэффициент отрицателен.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 27
Дата 2005/2006
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .