ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65872
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Произвольный треугольник разрезали на равные треугольники прямыми, параллельными сторонам (как показано на рисунке).
Докажите, что ортоцентры шести закрашенных треугольников лежат на одной окружности.


Решение 1

Пусть H – ортоцентр одного из закрашенных треугольников. Присоединив к нему три соседних белых треугольника, получим двойной треугольник. Понятно, что H является в этом двойном треугольнике центром описанной окружности. Проделав такие действия для всех закрашенных треугольников, получим шесть равных двойных треугольников с общей вершиной T. Поэтому ортоцентры всех закрашенных треугольников лежат на окружности с центром T радиуса TH.


Решение 2

Рассмотрим два закрашенных треугольника с общей вершиной A. Они симметричны относительно A. Их высоты, выходящие из A, перпендикулярны TA, где T – центр большого треугольника. Значит, их ортоцентры симметричны относительно TA. Поэтому расстояние от T до этих ортоцентров одно и то же. Поскольку это верно для любой пары соседних закрашенных треугольников, то ортоцентры всех этих треугольников равноудалены от T.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 38
Дата 2016/17
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .