ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65879
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Теорема Птолемея ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω с центром O, причём O не лежит на диагоналях четырёхугольника. Описанная окружность Ω1 треугольника AOC проходит через середину диагонали BD. Докажите, что описанная окружность Ω2 треугольника BOD проходит через середину диагонали AC.


Решение

  Пусть K и L – середины AC и BD соответственно. Отрезки OK и OL перпендикулярны соответственно хордам AC и BD окружности Ω. Пусть K' – точка, диаметрально противоположная точке O на Ω1. Поскольку L лежит на Ω1, то угол OLK' прямой. Значит, прямая BD проходит через K'. Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Можно считать, что углы A и D острые (см. рис.). Углы ALB и BLC равны как опирающиеся на равные дуги AK' и CK' окружности Ω1. Поэтому  ∠BLC = ½ ∠ALC = ½ ∠AOC = ∠ADC.  Значит, треугольники ACD и BCL подобны по двум углам. Отсюда  AC : AD = BC : BL,  то есть
BC·AD = BL·AC = ½ BD·AC.  По теореме Птолемея  DC·AB = BC·AD = ½ BD·AC = KC·BD.
  Из равенства  DC·AB = KC·BD  следует подобие треугольников CKD и BAD (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно,  ∠CKD = ∠BAD.  Аналогично из равенства  BC·AD = KC·BD  получаем, что равны углы CKB и BAD. Поэтому  ∠BKD = 2∠BAD = ∠BOD,  то есть точка K лежит на окружности Ω2.

  Второй способ. При инверсии относительно Ω прямая AC переходит в окружность Ω1, а точка K – в точку K'. Так как K' лежит на прямой BD, то K лежит на её образе – Ω2.

Замечания

1. 7 баллов.

2. Вписанный четырёхугольник, у которого произведения противоположных сторон равны, называется гармоническим. О свойствах гармонического четырёхугольника можно прочесть в статье Я. Понарина "Гармонический четырёхугольник" или здесь.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 38
Дата 2016/17
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .