ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65910
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Высоты неравнобедренного остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. O – центр описанной окружности треугольника BHC. Центр I вписанной окружности треугольника ABC лежит на отрезке OA. Найдите угол A.


Решение

  Из условия следует, что точка O лежит на пересечении биссектрисы угла A и серединного перпендикуляра к стороне BC. Так как эти прямые пересекаются на описанной окружности треугольника ABC, то O лежит на этой окружности и является серединой дуги ВС. Кроме того,
ВНС = 180° – ∠А,  так как Н – ортоцентр треугольника АВС.
  BOC – центральный угол, опирающийся на дугу BHC описанной окружности треугольника BHC. Следовательно,
ВНС = 180° – ½ ∠BOC = 180° – ½ (180° – ∠А) = 90° + ½ ∠А.
  Значит,  ∠90° + ½ ∠А = 180° – ∠А,  откуда  ∠А = 60°.


Ответ

60°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2016
класс
Класс 9
задача
Номер 9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .