ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65912
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сумма двух целых чисел равна S. Маша умножила левое число на целое число a, правое – на целое число b, сложила эти произведения и обнаружила, что полученная сумма делится на S. Алёша, наоборот, левое число умножил на b, а правое – на a. Докажите, что и у него аналогичная сумма разделится на S.


Решение

Пусть x – левое число, а y – правое; по условию  x + y = S.  Тогда у Маши получилось число  ax + by,  а у Алёши – число  bx + ay.  Сумма этих чисел равна  (a + b)(x + y) = (a + b)S,  то есть делится на S. Так как одно из двух слагаемых делится на S, то и другое делится на S.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2016
класс
Класс 10
задача
Номер 10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .