Задача 65915

Темы:    [ Тетраэдр (прочее) ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Вася разобрал каркас треугольной пирамиды в кабинете математики и хочет из её шести рёбер составить два треугольника так, чтобы каждое ребро являлось стороной ровно одного треугольника. Всегда ли Вася сможет это сделать?

Решение

  Заметим, что если Вася сумеет сложить треугольник из рёбер, выходящих из одной вершины тетраэдра, то второй треугольник уже сложен, и задача решена.
  Пусть АВ – самое длинное ребро тетраэдра DABC. По неравенству треугольника для граней ABD и ABC, получим:  АВ < AD + BD  и  АВ < AC + BC.  Следовательно,  2АВ < AC + AD + BC + BD.
  Поэтому либо  АВ < AC + AD,  либо  АВ < BC + BD.  Это значит, что Вася может сложить треугольник либо из тройки рёбер с общей вершиной А, либо из тройки рёбер с общей вершиной В.

Ответ

Всегда.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2016
класс
Класс	10
задача
Номер	10.5