ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65921
Темы:    [ Периодичность и непериодичность ]
[ Композиции симметрий ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Функция  f(x) определена для всех действительных чисел, причем для любого x выполняются равенства  f(x + 2) = f(2 – x)  и  f(x + 7) = f(7 – x).
Докажите, что  f(x) – периодическая функция.


Решение

  Докажем, что данная функция имеет период 10. Можно рассуждать по-разному.

  Первый способ.  f(x + 10) = f((x + 3) + 7) = f(4 – x) = f((2 – x) + 2) = f(x).

  Второй способ. Первое равенство означает, что точки с координатами  (x + 2, f(x + 2))  и  (2 – x, f(2 – x))  симметричны относительно прямой  x = 2,  то есть эта прямая является осью симметрии графика  y = f(x).  Аналогично из второго равенства следует, что прямая  x = 7  также является осью симметрии этого графика.
  Композиция двух указанных симметрий с параллельными осями является параллельным переносом на 10 вправо. Таким образом, график нашей функции переходит в себя при сдвиге на 10 вправо. Это и значит, что она периодическая с периодом 10.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2016
класс
Класс 11
задача
Номер 11.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .