|
|
 |
Условие
Функция f(x) определена для всех действительных чисел, причем для любого x выполняются равенства f(x + 2) = f(2 – x) и f(x + 7) = f(7 – x).
Докажите, что f(x) – периодическая функция.
Решение
Докажем, что данная функция имеет период 10. Можно рассуждать по-разному.
Первый способ. f(x + 10) = f((x + 3) + 7) = f(4 – x) = f((2 – x) + 2) = f(x).
Второй способ. Первое равенство означает, что точки с координатами (x + 2, f(x + 2)) и (2 – x, f(2 – x)) симметричны относительно прямой x = 2, то есть эта прямая является осью симметрии графика y = f(x). Аналогично из второго равенства следует, что прямая x = 7 также является осью симметрии этого графика.
Композиция двух указанных симметрий с параллельными осями является параллельным переносом на 10 вправо. Таким образом, график нашей функции переходит в себя при сдвиге на 10 вправо. Это и значит, что она периодическая с периодом 10.
