ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65964
Темы:    [ Признаки делимости на 3 и 9 ]
[ Четность и нечетность ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дано 100 целых чисел. Из первого числа вычли сумму цифр второго числа, из второго вычли сумму цифр третьего числа, и так далее, наконец, из 100-го числа вычли сумму цифр первого числа. Могут ли эти разности оказаться соответственно равными 1, 2, ..., 100 в каком-то порядке?


Решение

Обозначим данные числа через a1, a2, a3, ..., a100, а соответствующие суммы их цифр через s1, s2, s3, ..., s100. Тогда после вычитания получим:  a1s2,
a2a3a3s4,  ...,  a100s1.  Сумма этих чисел равна  (a1s1) + (a2s2) + ... + (a100s100)  и, следовательно, кратна 9 (поскольку любое целое число и сумма его цифр имеют одинаковый остаток от деления на 9). А сумма  1 + 2 + … + 100 = 5050  на 9 не делится. Поэтому эти разности не могут принимать указанные значения.


Ответ

Не могут.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2016/17
класс
Класс 9
задача
Номер 9.3.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .