|
|
 |
Условие
Дано 100 целых чисел. Из первого числа вычли сумму цифр второго числа, из второго вычли сумму цифр третьего числа, и так далее, наконец, из 100-го числа вычли сумму цифр первого числа. Могут ли эти разности оказаться соответственно равными 1, 2, ..., 100 в каком-то порядке?
Решение
Обозначим данные числа через a1, a2, a3, ..., a100, а соответствующие суммы их цифр через s1, s2, s3, ..., s100. Тогда после вычитания получим: a1 – s2,
a2 – a3, a3 – s4, ..., a100 – s1. Сумма этих чисел равна (a1 – s1) + (a2 – s2) + ... + (a100 – s100) и, следовательно, кратна 9 (поскольку любое целое число и сумма его цифр имеют одинаковый остаток от деления на 9). А сумма 1 + 2 + … + 100 = 5050 на 9 не делится. Поэтому эти разности не могут принимать указанные значения.
Ответ
Не могут.
Замечания
8 баллов
