|
|
 |
Условие
Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена точка M так, что ∠АМС = 150°.
Докажите, что отрезки АМ, ВМ и СМ таковы, что сумма квадратов двух из них равна квадрату третьего.
Решение 1
При повороте вокруг точки А на угол 60° точка В перейдёт в С, а точка М – в некоторую точку N. При этом CN = BM (рис. слева). Кроме того, в треугольнике MAN AN = AM и ∠NAM = 60°, значит, этот треугольник – равносторонний. Поэтому ∠СМN = ∠АМС – ∠AMN = 90°, то есть треугольник СМN – прямоугольный.
Следовательно, BM² = CN² = CM² + MN² = CM² + AM².
Решение 2
Через точку М проведём прямые, параллельные сторонам треугольника ABC, которые пересекут стороны ВС, СА и АВ в точках D, E и F соответственно (рис. справа). Тогда АЕМF, BFMD и CDME – равнобокие трапеции, поэтому AM = EF, BM = FD и CM = DE.
Пусть ∠AEF = ∠AMF = α, ∠DEC = ∠DMC = β. Так как ∠EMD = ∠EMF = 120°, а ∠АМС = 150°, то α + β = 90°. Значит, ∠DEF = 90°.
Таким образом, FD² = DE² + EF², то есть BM² = CM² + AM².
Замечания
9 баллов
