Задача 65986

Темы:    [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Медиана делит площадь пополам ] [ Замечательное свойство трапеции ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Диагонали четырёхугольника АВСD пересекаются в точке О, М и N – середины сторон ВС и AD соответственно. Отрезок MN делит площадь четырёхугольника пополам. Найдите отношение  ОМ : ОN,  если  AD = 2BC.

Решение

  NM – медиана треугольника BNC (см. рис.), поэтому  S_BMN = S_СMN.

  Из условия теперь следует, что  S_ABN = S_DСN.  Кроме того, у треугольников ABN и DСN равны стороны AN и DN, поэтому их высоты BH и CT также равны. Следовательно,  AD || BC,  то есть ABCD – трапеция.
  Значит, точка О лежит на отрезке MN, а треугольники AOD и COB подобны с коэффициентом  ^AD/_BC = 2.  Так как ON и OM – соответствующие медианы этих треугольников, то и  ОМ : ОN = 1 : 2.

Ответ

1 : 2.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2016/17
класс
Класс	10
задача
Номер	10.2.2