Задача 65989

Темы:    [ Тетраэдр (прочее) ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Признаки перпендикулярности ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Все грани треугольной пирамиды SABC – остроугольные треугольники. SX и SY – высоты граней ASВ и BSС. Известно, что четырёхугольник AXYC – вписанный. Докажите, что прямые AC и BS перпендикулярны.

Решение 1

  Пусть H – проекция точки S на плоскость ABC, тогда по теореме о трёх перпендикулярах  HX ⊥ AB  и  HY ⊥ BC  (рис. слева).

  Рассмотрим треугольник ABC (рис. справа). Пусть  ∠BАH = x.  Четырёхугольник AXYC – вписанный, следовательно, и  ∠BАH = x.  Кроме того, точки X и Y лежат на окружности с диаметром BH. Значит,  ∠АВH = ∠XYH = 90° – x.  Таким образом,  ∠АВH + ∠BАH = 90°,  то есть  BH ⊥ АС.  Следовательно, и  BS ⊥ АС.

Решение 2

  Проведём высоту AZ в грани SAB (см. рис.). Точки X и Z лежат на окружности с диаметром AS. Значит,  BX·BA = BZ·BS.  Четырёхугольник AXYC – вписанный, поэтому  BY·BC = BX·BA = BZ·BS.

  Следовательно, точки С, Y, Z и S также лежат на одной окружности. Значит,  ∠CZS = ∠CYS = 90°.
  Таким образом,  BS ⊥ ZA  и  BS ⊥ ZС,  значит, прямая BS перпендикулярна плоскости AZC, поэтому  BS ⊥ AC.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2016/17
класс
Класс	10
задача
Номер	10.3.2