Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовём точку «особой», если более половины из соединённых с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбираем любую особую точку и перекрашиваем в другой цвет. Докажите, что через конечное число шагов не останется ни одной особой точки.

   Решение

Темы:    [ Произведения и факториалы ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно на 2016?

Решение

Произведение  1·1·676  после указанной операции превращается в  (–2)·(–2)·673 = 2692 = 676 + 2016.

Ответ

Могло.

Замечания

1. Приведённый пример – единственный. Покажем, как его придумать. Предположим, что два сомножителя равнялись 1, а третий – a. Их произведение было равно a, а после уменьшения превратилось в  (–2)²(a – 3) = 4a – 12.  Решая уравнение  4a – 12 = a + 2016,  получаем  a = 676.

2. Ср. с задачей 66018.

Источники и прецеденты использования