ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66017
Темы:    [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Теорема синусов ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Удвоение медианы ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Обухов Б.

В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота BH. Перпендикуляр, восстановленный в точке M к прямой AM, пересекает луч HB в точке K. Докажите, что если  ∠MAC = 30°,  то  AK = BC.

Решение 1

Точки H и M лежат на окружности с диаметром AK (рис. слева). Поэтому  HM = AK sin∠MAH = AK sin 30° = AK/2.  С другой стороны, HM – медиана прямоугольного треугольника BHC, поэтому  BC = 2HM = AK.


Решение 2

Достроим треугольник ABC до параллелограммов ABPC и AQBC (рис. справа); тогда  BP = AC = BQ  и  KHPQ.  M – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABPC, значит, MK и HK – серединные перпендикуляры к отрезкам AP и PQ. Следовательно, точка K – центр описанной окружности Ω треугольника APQ.  ∠APQ = ∠PAC = 30°,  поэтому хорда AQ окружности Ω равна радиусу AK, и  BC = AQ = AK.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2016/2017
этап
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .