ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66026
Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?


Решение

  Оценка. Предположим, что среди рациональных чисел есть 0 и он выписан у верхней стороны таблицы. Пусть вдоль левой стороны таблицы выписано x иррациональных и  50 – x  рациональных чисел. Тогда вдоль верхней стороны выписаны  50 – x  иррациональных и x рациональных чисел. Заметим, что произведение ненулевого рационального и иррационального чисел иррационально. Значит, в таблице есть как минимум  x(x – 1) + (50 – x)2 = 2x2 – 101x + 502  иррациональных чисел. Вершина параболы  y = 2x2 – 101x + 502  находится в точке 25,25, поэтому минимальное значение этой функции в целой точке достигается при  x = 25  и равно  25·24 + 252 = 1225.
  Если же 0 заменить ненулевым рациональным числом, то количество иррациональных чисел может только увеличиться. Поэтому в таблице в любом случае не более  2500 – 1225 = 1275  рациональных чисел.
  Пример, когда рациональных чисел 1275. Вдоль левой стороны поставим числа  1, 2, ..., 24, 25,    а вдоль верхней – числа  0, 26, 27, ..., 49,    Тогда иррациональными будут только  25·24 + 252 = 1225  произведений ненулевого рационального и иррационального чисел.


Ответ

1275 произведений.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2016/2017
этап
Вариант 4
задача
Класс 11
задача
Номер 11.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .