Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
В клетках квадратной таблицы n × n, где n > 1, требуется расставить различные целые числа от 1 до n2 так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на n, – в разных строках и в разных столбцах. При каких n это возможно?
По окружности $\Omega$ движется точка $P$. На окружности $\Omega$ зафиксированы точки $A$ и $B$. Точка $C$ – произвольная точка внутри круга с границей $\Omega$. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $APC$ и $BCP$, пересекаются в точке $Q$. Докажите, что все точки $Q$ лежат на двух фиксированных прямых.
Дан треугольник ABC, O – центр его описанной окружности. Проекции точек D и X на стороны треугольника лежат на прямых l и L, причём
l || XO. Докажите, что прямая L образует равные углы с прямыми AB и CD.
Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.
Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.
|
|
 |
Условие
Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.
Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.
Решение
Докажем утверждение индукцией по количеству n сторон многоугольника. База (n = 3) очевидна.
Шаг индукции. Пусть n ≥ 4 и выпуклый n-угольник P разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники. Согласно задаче 58155 одна из этих диагоналей (d) делит P на треугольник T и (n–1)-угольник P'. Если две равные стороны треугольника T являются сторонами P, то всё доказано.
В противном случае T и P имеют общую сторону, равную d. В многоугольнике P' по предположению индукции найдутся две равные стороны. Если они не равны d, то всё доказано. Если же они равны d, то в P нашлись две стороны, равные d.
