Задача 66030

Темы:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Кузнецов А.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Г c центром в точке O. Его диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке P, причём точка O лежит внутри треугольника BPC. На отрезке BO выбрана точка H так, что  ∠BHP = 90°.  Описанная окружность ω треугольника PHD вторично пересекает отрезок PC в точке Q. Докажите, что  AP = CQ.

Решение

  Проведём в окружности Г диаметр BT (см. рис.). Точки H и D лежат на окружности с диаметром PT, значит, она совпадает с ω. Поэтому
∠PQT = ∠PHT = 90°,  то есть PQTD – прямоугольник.

  Рассмотрим общий серединный перпендикуляр l к отрезкам DT и PQ. Он проходит через O, а значит, является и серединным перпендикуляром к AC. Следовательно, отрезки AP и CQ симметричны относительно l и потому равны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2016/2017
этап
Вариант	4
задача
Класс	11
задача
Номер	11.6