ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66044
Темы:    [ Дискретное распределение ]
[ Условная вероятность ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Игровой круг в телевикторине "Что? Где? Когда?" разбит на 13 одинаковых секторов. Секторы пронумерованы числами от 1 до 13. В каждом секторе в начале игры лежит конверт с вопросом. Игроки выбирают случайный сектор с помощью волчка со стрелкой. Если этот сектор уже выпадал прежде, то конверта в нём уже нет, и тогда играет следующий по часовой стрелке сектор. Если он тоже пуст, – следующий и т.д., пока не встретится непустой сектор. До перерыва игроки разыграли шесть секторов.
  а) Что более вероятно: что в числе разыгранных есть сектор №1 или что среди разыгранных есть сектор №8?
  б) Найдите вероятность того, что в результате оказались разыграны подряд шесть секторов с номерами от 1 до 6.


Решение

  б) Рассмотрим последовательность секторов n1, n2, ..., n6, выпавших при вращении волчка. Событию  A = "разыграны секторы 1 – 6"  благоприятствуют все последовательности, в которых  nk ≤ k,  и все перестановки каждой такой последовательности. Например, подходит последовательность 1, 1, 2, 3, 3, 6 и её всевозможные перестановки и т.д.
  Количество последовательностей, благоприятствующих A, не зависит от количества невыбранных секторов, а значит, одинаково для любого круга, в котором больше шести секторов. Удобно пересчитать эти последовательности на круге с семью секторами. Тогда, какова ни была бы последовательность выпавших секторов, останется всего один неразыгранный сектор, а разыгранные секторы расположены подряд. Всего последовательностей 76. Последовательностей, при которых не разыгран именно сектор №7, ровно в 7 раз меньше: 75.
  На круге всего 136 равновозможных последовательностей. Поэтому вероятность события A равна 75/136.


Ответ

а) Вероятности равны;   б)   75/136 ≈ 0,00348.

Замечания

баллы: 1 + 5

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2017
тур
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .