|
|
 |
Условие
В школьном совете выбирают председателя. Кандидатов четверо: А, Б, В и Г. Предложена специальная процедура – каждый член совета должен записать на специальном листке кандидатов в порядке своих предпочтений. Например, АВГБ значит, что член совета на первое место ставит А, не очень возражает против В и считает, что он лучше, чем Г, зато меньше всего хотел бы видеть председателем Б. Первое место даёт кандидату 3 очка, второе – 2 очка, третье – 1 очко, а четвёртое – 0 очков. После сбора всех листков избирательная комиссия суммирует очки у каждого кандидата. Победит тот, у кого наибольшая сумма очков.
После голосования выяснилось, что В (который набрал меньше всех очков) снимает свою кандидатуру в связи с переходом в другую школу. Заново голосовать не стали, а просто вычеркнули В из всех листков. В каждом листке осталось три кандидата. Поэтому первое место стало стоить 2 очка, второе – 1 очко, а третье – 0 очков. Очки просуммировали заново.
Могло ли случиться так, что кандидат, который прежде имел больше всех очков, после самоотвода В получил меньше всех?
Решение
Предположим, что в совете голосовали семеро, и голоса распределились, как показано в таблице слева.
Когда В снял свою кандидатуру, таблица предпочтений изменилась (таблица справа). Суммы очков тоже изменились: А – 6, Б – 7, Г – 8.
Ответ
Могло.
Замечания
1. Странным образом кандидат с самым низким рейтингом изменил результаты выборов, просто перестав в них участвовать, а лидер стал аутсайдером. Подробно этот и другие парадоксы выборов и знаменитая теорема Эрроу описаны в книге Р.Э. Клима, Дж.К. Ходж. "Математика выборов". Москва. МЦНМО. 2007.
2. 2 балла.
