ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66056
Темы:    [ Дискретное распределение ]
[ Формула включения-исключения ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Неправдоподобная легенда гласит, что однажды Стирлинг размышлял над числами Стирлинга второго рода и в задумчивости бросал на стол 10 правильных игральных костей. После очередного броска он вдруг заметил, что в выпавшей комбинации очков присутствуют все числа от 1 до 6. Тут же Стирлинг задумался, а какова же вероятность такого события? Какова вероятность, что при бросании 10 костей каждое число очков от 1 до 6 выпадет хотя бы на одной кости?


Решение

  Найдём вероятность события  A "в выпавшей комбинации какого-то числа нет".  Обозначим Ak событие  "нет числа k".  Тогда
A = A1A2A3A4A5A6.
  С помощью формулы включения-исключения получаем:
P(A) = P(A1) + P(A2) + ... + P(A6) – P(A1A2) – P(A1A3) – ... – P(A5A6) + P(A1A2A3) + P(A1A2A4) + ... + P(A4A5A6) – ... – P(A1A2A3A4A5A6).
  Все вероятности P(Ak) равны (5/6)10, а всего их    Вероятности попарных пересечений равны (4/6)10, а всего их    и т.д. Значит,
P(A) = 6·(5/6)10 – 15·(4/6)10 + 20·(3/6)10 – 15·(2/6)10 + 6·(1/6)10.
  Следовательно, вероятность того, что каждое число встретится хотя бы раз, равна  1 – P(A).


Ответ

1 – 6·(5/6)10 + 15·(4/6)10 – 20·(3/6)10 + 15·(2/6)10 – 6·(1/6)10 ≈ 0,272.

Замечания

1. Для знатоков. Напомним, что числом Стирлинга второго рода  S(n, k)  называется количество возможных неупорядоченных способов разбить n элементов на k непустых групп. В нашем случае нужно перечислить упорядоченные способы разбить 10 костей на 6 непустых групп: в первой группе выпавшие единицы, во второй – двойки и т.д. Значит, всего таких способов  6!·S(10, 6).  С помощью таблицы чисел Стирлинга второго рода или с помощью рекурсии   S(n, k) = S(n – 1, k – 1) + kS(n – 1, k)  при  S(0, 0) = 1  и  S(k, 0) = S(0, k) = 0  для  k > 0  находим:  S(10, 6) = 22827.  Следовательно, искомая вероятность равна  

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2017
тур
задача
Номер 15

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .