Задача 66083

Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

Квадратный трёхчлен  x² + bx + c  имеет два действительных корня. Каждый из трёх его коэффициентов увеличили на 1.
Могло ли оказаться, что оба корня трёхчлена также увеличились на 1?

Решение

  Предположим, что это произошло. Пусть x₁, x₂ – корни уравнения  x² + bx + c = 0.  Тогда  x₁ + x₂ = – b,  x₁x₂ = c,  x₁ + x₂ + 2 = – ^b+1/₂,
(x₁ + 1)(x₂ + 1) = ^c+1/₂.  Отсюда  b = 5,  c = 9.
  Стало быть, искомый трёхчлен имеет вид  x² + 5x + 9.  Однако дискриминант этого трёхчлена отрицателен. Противоречие.

Ответ

Не могло.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	80
Год	2017
класс
Класс	10
задача
Номер	1