|
|
 |
Условие
Найдите наименьшее натуральное число, кратное 80, в котором можно так переставить две его различные цифры, что получившееся число также будет кратно 80.
Решение
Заметим, что и до, и после перестановки цифр число делится на 10 и поэтому должно оканчиваться на 0. Покажем, что нет трёхзначных чисел, обладающих описанным в условии свойством. Действительно, если 100a + 10b = 80k и 100b + 10a = 80l, a < b, то цифры a и b чётны, причём
90(b – a) = 80(l – k), поэтому b – a делится на 8. Это возможно только при b = 8, a = 0, но 0 не может быть первой цифрой числа.
Попробуем найти требуемое число среди четырёхзначных чисел, начинающихся с 1, то есть чисел вида 1000 + 100a + 10b, a < b. Если поменять местами цифры 1 и b, то полученное число не будет делиться на 80. Если переставить цифры a и b, то аналогично рассуждению для трёхзначных чисел получаем единственный вариант b = 8, a = 0, но число 1080 не кратно 80. Значит, может подойти только число, в котором переставлены цифры 1 и a, где a > 1. В этом случае 900(a – 1) = 80m, 45(a – 1) = 4m. Значит, a – 1 делится на 4, откуда a = 5 или 9. Уже при a = 5 и b = 2 получаем число 1520 = 19·80, удовлетворяющее условию: 5120 = 64·80.
Ответ
1520.
