|
|
 |
Условие
Незнайка знаком только с десятичными логарифмами и считает, что логарифм суммы двух чисел равен произведению их логарифмов, а логарифм разности двух чисел равен частному их логарифмов. Может ли Незнайка подобрать хотя бы одну пару чисел, для которой действительно верны одновременно оба этих равенства?
Решение
Предположим, что такие числа x и y < x существуют. Тогда они удовлетворяют системе уравнений lg(x + y) = lg x lg y, lg(x – y) = lg x/lg y.
Если 0 < x ≤ 1, то левая часть второго уравнения отрицательна, а правая часть неотрицательна. Противоречие.
Если 0 < y < 1 и x ≥ 1, то левая часть первого уравнения положительна, а правая часть неположительна. Противоречие.
Пусть x > y > 1. В этом случае все логарифмы положительны. Сложим уравнения системы и применим неравенство Коши:
lg(x² – y²) = lg(x + y) + lg(x – y) = lg x lg y + lg x/lg y ≥ 2lg x = lg x². Отсюда x² – y² ≥ x², что невозможно.
Ответ
Не может.
