ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66097
Темы:    [ Перпендикулярные прямые ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Поворотная гомотетия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри треугольника ABC взята такая точка D, что  BD = CD,  ∠BDC = 120°.  Вне треугольника ABC взята такая точка E, что  AE = CE,  ∠AEC = 60°  и точки B и E находятся в разных полуплоскостях относительно AC. Докажите, что  ∠AFD = 90°,  где F – середина отрезка BE.


Решение

  Без ограничения общности будем считать, что вершины A, B, C треугольника ABC расположены в указанном порядке по часовой стрелке (см. рис.)

  Обозначим через K и L середины отрезков BC и CE соответственно. По теореме о средней линии треугольника     Рассмотрим на множестве векторов следующее преобразование Ф: поворот на 90° против часовой стрелки, а затем умножение на    Тогда     Следовательно,     Значит, векторы    и    перпендикулярны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 80
Год 2017
класс
Класс 11
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .