ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66105
Темы:    [ Концентрические окружности ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны две концентрические окружности и точка A внутри меньшей из них. Угол величиной α с вершиной в A высекает на этих окружностях по дуге. Докажите, что если дуга большей окружности имеет угловой размер α, то и дуга меньшей имеет угловой размер α.


Решение

  Пусть на большей окружности угол высекает дугу BC.

  Первый способ. Обозначим через C' и B' вторые точки пересечения большей окружности с прямыми AB и AC соответственно (рис. слева). Сумма дуг BC и B'С' равна 2α, поэтому эти дуги равны. Значит, BB'С'C – равнобедренная трапеция или прямоугольник.
  Ось симметрии этой трапеции проходит через середины оснований, точку A пересечения диагоналей и общий центр O. Следовательно, вся картинка симметрична относительно этой оси, поэтому углы BAC и B'AС' высекают на меньшей окружности равные дуги. Сумма этих дуг равна 2α, значит, каждая из них равна α.

  Второй способ. Так как  α < 180°,  то точки O и A лежат по одну сторону от хорды BC. Значит, углы BOC и BAC одинаково ориентированы. Поэтому при повороте вокруг общего центра O, переводящем B в C, отрезок BA перейдёт в отрезок CX, где X лежит на луче CA внутри меньшей окружности. Следовательно, D перейдёт в E (это точки пересечения соответственно отрезков BA и CA с меньшей окружностью, см. рис. справа). Значит,  ⌣DE = α.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 38
Дата 2016/17
вариант
1
Вариант весенний тур, базовый вариант, 10-11 классласс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .