Задача 66111

Темы:    [ Ограниченность, монотонность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Толпыго А.К.

Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: a₁ – сумма исходных чисел, a₂ – сумма квадратов исходных чисел, a₃ – сумма кубов исходных чисел, и т.д.
  а) Могло ли случиться, что до a₅ последовательность убывает  (a₁ > a₂ > a₃ > a₄ > a₅),  а начиная с a₅ – возрастает  (a₅ < a₆ < a₇ < ...)?
  б) А могло ли случиться наоборот: до a₅ последовательность возрастает, а начиная с a₅ – убывает?

Решение

  а) Пример 1. Возьмём число 2 и 1024 числа, равных ½. Тогда  a_n = 2ⁿ + 1024·2^–n = 32(2^n–5 + 2^5–n).  Сумма двух положительных взаимно обратных чисел тем меньше, чем ближе они друг к другу. Поэтому построенная последовательность убывает до  n = 5,  а потом возрастает.
  Пример 2. Возьмём  a_n = 1,02ⁿ + 0,5ⁿ.  Заметим, что  a_n+1 > a_n  ⇔  0,02·1,02ⁿ > 0,5ⁿ⁺¹  ⇔  2,04ⁿ > 25  ⇔  n ≥ 5.  То есть последовательность убывает до  n = 5,  а потом возрастает.

  б) Предположим, такое случилось.
  Первый способ. Тог