ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66112
Темы:    [ Шестиугольники ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Обухов Б.

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все стороны равны, а также  AD = BE = CF.  Докажите, что в этот шестиугольник можно вписать окружность.


Решение

  Поскольку треугольники ABD и EDB равны по трём сторонам, то четырёхугольник ABDE – равнобокая трапеция или прямоугольник. Её ось симметрии – серединный перпендикуляр к основаниям BD и AE. На этом же перпендикуляре лежат и вершины C и F равнобедренных треугольников BCD и AFE. Аналогично прямые AD и BE являются осями симметрии шестиугольника. Все три оси пересекаются в центре O описанной окружности треугольника BDF. Так как биссектрисы всех углов многоугольника пересекаются в одной точке, то его стороны равноудалены от неё.

  Осталось заметить, что перпендикуляры, опущенные из точки O на стороны шестиугольника, попадают именно на стороны, а не на их продолжения. Так происходит потому, что, например, углы треугольника AOB при стороне AB равны половинам углов A и B выпуклого шестиугольника, то есть являются острыми.

Замечания

1. Рассмотрим два правильных треугольника с общим центром и попарно параллельными сторонами, расположенными как на рисунке снизу. Последовательно соединим их вершины. Полученный шестиугольник будет удовлетворять условию задачи. Несложно показать, что таким образом можно получить все подходящие под условие шестиугольники.

2. Можно показать, что любой выпуклый многоугольник, у которого через каждую вершину проходит ось симметрии, является описанным.

3. 8 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 80
Год 2017
класс
Класс 8
1
задача
Номер 4
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2016/17
Номер 38
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .