|
|
 |
Условие
Доминошки 1×2 кладут без наложений на шахматную доску 8×8. При этом доминошки могут вылезать за границу доски, но центр каждой доминошки должен лежать строго внутри доски (не на границе). Положите таким образом на доскуа) хотя бы 40 доминошек;
б) хотя бы 41 доминошку;
в) более 41 доминошки.
Решение
а) Первый способ. Возьмём квадрат с вершинами (4, ±4) и повернём его немного относительно центра так, чтобы его вертикальные стороны не пересекли прямых с полуцелыми абсциссами. Исходный квадрат пересекал восемь таких прямых. После поворота квадрат высекает на них отрезки длины больше 8. Значит, внутри каждого из них можно разместить с шагом 2 по пять центров вертикальных доминошек.
Второй способ. См. рис. слева.
в) На рисунке справа показана укладка 42 доминошек. Центры крайних доминошек лежат на границе квадрата с диагональю 11, которая меньше диагонали доски 8×8. Поэтому центры всех доминошек уместятся на доске.
Замечания
1. Повернём указанный в первом способе решения п. а) квадрат так, чтобы его вертикальные стороны не пересекли прямых x = ±3¾. На прямой
x = –3¾ поместим девять центров горизонтальных доминошек, а на семи вертикальных прямых с абсциссами –2¼, –1¼, –¼, ¾, 1¾, 2¾, 3¾ – по пять центров вертикальных доминошек (см. рис.).
2. Баллы – 6 + 3 + 3.
